做8個全等的直角三角形,設它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個邊長分別為a、b、c的正方形,把它們拼成兩個正方形.可以看到,這兩個正方形的邊長都是a+b,所以面積相等.即a的平方加b的平方,加4乘以二分之一ab等於c的平方,加4乘以二分之一ab,整理得a的平方加b的平方等於c的平方。
勾股定理,是一個基本的幾何定理,指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形,並且直角邊中較小者為勾,另一長直角邊為股,斜邊為弦,所以稱這個定理為勾股定理,也有人稱商高定理。
勾股定理現約有500種證明方法,是數學定理中證明方法最多的定理之一。
勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一,用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一,也是數形結合的紐帶之一。
證明勾股定理的16種方法
證明勾股定理的16種方法如下:
1、證法一(鄒元治證明);
2、證法二(課本的證明);
3、證法三(趙爽弦圖證明;
4、證法四(總統證明);
5、證法五(梅文鼎證明);
6、證法六(項明達證明;
7、證法七(歐幾里得證明);
8、證法八(相似三角形性質證明);
9、證法九(楊作玫證明);
10、證法十(李鋭證明);
11、證法十一(利用切割線定理證明);
12、證法十二(利用多列米定理證明);
13、證法十二(利用多列米定理證明);
14、證法十四(利用反證法證明);
15、證法十五(辛卜鬆證明);
16、證法十六(陳杰證明)。
勾股定理的證明方法
最常見的勾股定理證明方法是歐幾里得證明,設△ABC為一直角三角形,其中A為直角。從A點劃一直線至對邊,使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二,其面積分別與其餘兩個正方形相等。
在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設△ABC為一直角三角形,其中A為直角。從A點劃一直線至對邊,使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二,其面積分別與其餘兩個正方形相等。
在這個定理的證明中,我們需要如下四個輔助定理:
如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等,則兩三角形全等。(SAS)
三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積(據輔助定理3)。
證明的思路為:從A點劃一直線至對邊,使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二,把上方的兩個正方形,通過等高同底的三角形,以其面積關係,轉換成下方兩個同等面積的長方形。
設△ABC為一直角三角形,其直角為∠CAB。
其邊為BC、AB和CA,依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
畫出過點A之BD、CE的平行線,分別垂直BC和DE於K、L。
分別連接CF、AD,形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G共線,同理可證B、A和H共線。
∠CBD和∠FBA都是直角,所以∠ABD=∠FBC。
因為AB=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。
因為A與K和L在同一直線上,所以四邊形BDLK=2△ABD。
因為C、A和G在同一直線上,所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四邊形BDLK=BAGF=AB²。
同理可證,四邊形CKLE=ACIH=AC²。
把這兩個結果相加,AB²+AC²=BD×BK+KL×KC
由於BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由於CBDE是個正方形,因此AB²+AC²=BC²,即a²+b²=c²。
勾股定理的證明方法是什麼
勾股定理是一個基本的幾何定理,指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形,並且直角邊中較小者為勾,另一長直角邊為股,斜邊為弦,所以稱這個定理為勾股定理,也有人稱商高定理。
證明方法
做8個全等的直角三角形,設它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個邊長分別為a、b、c的正方形,把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.
可以看到,這兩個正方形的邊長都是a+b,所以面積相等.即a的平方加b的平方,加4乘以二分之一ab等於c的平方,加4乘以二分之一ab,整理得a的平方加b的平方等於c的平方。
勾股定理證明
1.以a、b為直角邊,以c為斜邊做四個全等的直角三角形,則每個直角三角形的面積等於2分之一ab。
三點在一條直線上,BFC三點在一條直線上,CGD三點在一條直線上。
3.證明四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形後即可推出勾股定理。
十六種證明方法
加菲爾德證法、加菲爾德證法變式、青朱出入圖證法、歐幾里得證法、畢達哥拉斯證法、華蘅芳證法、趙爽弦圖證法、百牛定理證法、商高定理證法、商高證法、劉徽證法、縐元智證法、梅文鼎證法、嚮明達證法、楊作梅證法、李鋭證法。