3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41等等。
勾股數，又名畢氏三元數 。勾股數就是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數。勾股數的依據是勾股定理。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一。
勾股定理説明，平面上的直角三角形的兩條直角邊的長度（古稱勾長、股長）的平方和等於斜邊長（古稱弦長）的平方。反之，若平面上三角形中兩邊長的平方和等於第三邊邊長的平方，則它是直角三角形（直角所對的邊是第三邊）。
勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，並且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。
勾股定理推導：歐幾里得證法
在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。
如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS）
三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積。
勾股定理在西方被稱為Pythagoras定理，它以公元前6世紀希臘哲學家和數學家的名字命名。可以有理由認為他是數學中最重要的基本定理之一，因為他的推論和推廣有着廣泛的引用。雖然這樣稱呼，他也是古代文明中最古老的定理之一，實際上比Pythagoras早一千多年的古巴比倫人就已經發現了這一定理，在Plimpton 322泥板上的數表提供了這方面的證據，這塊泥板的年代大約是在公元前1700年。對勾股定理的證明方法，從古至今已有400餘種。
據《周髀算經》記載，“昔者周公問與商高曰：請問古者包犧立周天歷度。夫天不可階而升．地不可得尺寸而度． 請問數安從出． 商高曰．數之法．出於圓方． 圓出於方．方出於矩． 矩出於九九八十一． 故折矩， 以為句，廣三， 股修四． 徑隅五． 既方其外．半之一矩． 環而共盤．得成三四五． 兩矩共長二十有五．是謂積矩． 故禹之所以治天下者．此數之所生也． 周公曰．大哉言數． 請問用矩之道． 商高曰．平矩以正繩． 偃矩以望高。覆矩以測深．卧矩以知遠． 環矩以為圓．合矩以為方． 方屬地．圓屬天．天圓地方． 方數為典．以方出圓。笠以寫天． 天青黑．地黃赤．天數之為笠也．青黑為表．丹黃為裏．以象天地之位． 是故．知地者智．知天者聖． 智出於句． 句出於矩． 夫矩之於數．其裁製萬物．惟所為耳． 周公曰．善哉。”
（3n、4n、5n）（n是正整數）（這是最著名的一組！俗稱“勾三，股四，弦五”。古人把較短的直角邊稱為勾，較長直角邊稱為股，而斜邊則為弦。） （5n、12n、13n）（n是正整數）
