若圓內任意弦AB、弦CD交於點P,則PA·PB=PC·PD(相交弦定理)。
定理的證明:
連結AC,BD;
由圓周角定理的推論,得∠A=∠D,∠C=∠B。
△PAC∽△PDB;
PA∶PD=PC∶PB,PA·PB=PC·PD(若連結AD,BC也可證明)。
擴展資料:
相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)以及他們的推論統稱為圓冪定理。一般用於求線段長度。
當P點在圓內時稱為相交弦定理,當P點在圓上時稱為切割線定理,當P點在圓外時稱為割線定理。三條定理統稱為圓冪定理。其中|OP²-R²|稱為P點對圓O的冪。
相交弦定理的推論如果弦與直徑垂直相交,那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。若a:b=b:c,則稱b為a、c的比例中項。
這個推論揭示了弦與直徑垂直相交的性質。推論在解題中有較廣泛的應用,並給出了作兩條已知線段比例中項的方法。