狄利克雷函數是周期函數證明：取T為任意一個確定的有理數，則當x是有理數時f(x)=1，且x+T是有理數，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；當x是無理數時，f(x)=0，且x+T是無理數，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。綜上，狄利克雷函數是周期函數。
狄利克雷函數即f(x)=1(當x為有理數）；f(x)=0(當x為無理數）；而周期函數的定義是對任意x，若f(x)=f(x+T)，則f(x)是週期為T的周期函數。
顯然，取T為任意一個確定的有理數，則當x是有理數時f(x)=1，且x+T是有理數，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；當x是無理數時，f(x)=0，且x+T是無理數，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。綜上，狄利克雷函數是周期函數，其週期可以是任意個有理數，所以沒有最小正週期。
狄利克雷函數是一個定義在實數範圍上、值域不連續的函數。狄利克雷函數的圖像以Y軸為對稱軸，是一個偶函數，它處處不連續，處處極限不存在，不可黎曼積分。這是一個處處不連續的可測函數。
對於函數y=f（x），如果存在一個不為零的常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，f（x+T）=f（x）都成立，那麼就把函數y=f（x）叫做周期函數，不為零的常數T叫做這個函數的週期。事實上，任何一個常數kT（k∈Z，且k≠0）都是它的週期。並且周期函數f（x）的週期T是與x無關的非零常數，且周期函數不一定有最小正週期。
